Mathématiques de base Exemples

$\frac{b}{b^{2} + 18 b + 81} + \frac{9}{b^{2} + 17 b + 72}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{b}{b^{2} + 18 b + 9^{2}} + \frac{9}{b^{2} + 17 b + 72}$

Étape 1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$18 b = 2 \cdot b \cdot 9$

Étape 1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{b}{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 9 + 9^{2}} + \frac{9}{b^{2} + 17 b + 72}$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = b$ et $b = 9$ .

$\frac{b}{{(b + 9)}^{2}} + \frac{9}{b^{2} + 17 b + 72}$

Étape 1.2

Factorisez $b^{2} + 17 b + 72$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $72$ et dont la somme est $17$ .

$8, 9$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{b}{{(b + 9)}^{2}} + \frac{9}{(b + 8) (b + 9)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{b}{{(b + 9)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b + 8}{b + 8}$ .

$\frac{b}{{(b + 9)}^{2}} \cdot \frac{b + 8}{b + 8} + \frac{9}{(b + 8) (b + 9)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{9}{(b + 8) (b + 9)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b + 9}{b + 9}$ .

$\frac{b}{{(b + 9)}^{2}} \cdot \frac{b + 8}{b + 8} + \frac{9}{(b + 8) (b + 9)} \cdot \frac{b + 9}{b + 9}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(b + 8) {(b + 9)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{b}{{(b + 9)}^{2}}$ par $\frac{b + 8}{b + 8}$ .

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9}{(b + 8) (b + 9)} \cdot \frac{b + 9}{b + 9}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{9}{(b + 8) (b + 9)}$ par $\frac{b + 9}{b + 9}$ .

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{(b + 8) (b + 9) (b + 9)}$

Étape 4.3

Élevez $b + 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{(b + 8) ({(b + 9)}^{1} (b + 9))}$

Étape 4.4

Élevez $b + 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{(b + 8) ({(b + 9)}^{1} {(b + 9)}^{1})}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{(b + 8) {(b + 9)}^{1 + 1}}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{(b + 8) {(b + 9)}^{2}}$

Étape 4.7

Réorganisez les facteurs de $(b + 8) {(b + 9)}^{2}$ .

$\frac{b (b + 8)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)} + \frac{9 (b + 9)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b (b + 8) + 9 (b + 9)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b \cdot b + b \cdot 8 + 9 (b + 9)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

Étape 6.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{b^{2} + b \cdot 8 + 9 (b + 9)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

Étape 6.3

Déplacez $8$ à gauche de $b$ .

$\frac{b^{2} + 8 \cdot b + 9 (b + 9)}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b^{2} + 8 b + 9 b + 9 \cdot 9}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

Étape 6.5

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{b^{2} + 8 b + 9 b + 81}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$

Étape 6.6

Additionnez $8 b$ et $9 b$ .

$\frac{b^{2} + 17 b + 81}{{(b + 9)}^{2} (b + 8)}$